【図でわかる】分布荷重の計算方法【構造力学テスト対策】

【図でわかる】分布荷重の計算方法【構造力学テスト対策】

2020年3月24日
構造力学
太郎くん
太郎くん

分布荷重がわからないよー

とたん
とたん

分布荷重はひとつの力に置き換えて考えましょう。

この記事のポイント

  • 分布荷重がかかるはりの断面力図の書き方までわかる

分布荷重の解き方:基本的な考え方

Distributed load
とたん
とたん

分布荷重は一つの力に置き換えて考えましょう。

分布荷重を一つの荷重に置き換える方法

分布荷重をひとつの荷重に置き換える方法は次の3つです。

  1. 分布荷重の面積を求める=力の大きさ
  2. 分布荷重の重心の位置を求める
  3. 求めた面積の大きさを重心の位置に書く
とたん
とたん

固定端Aの先に分布荷重がかかっているはりについて考えてみましょう!

分布荷重が四角形の場合

Distributed load

この場合の分布荷重は次のように考えます。

荷重の大きさ

4kN/m×3m=12kN

荷重の位置

太郎くん
太郎くん

これは四角形なので、真ん中ですね。

とたん
とたん

Bから左側に1.5mの位置です。

3m÷2=1.5m

分布荷重が三角形の場合

Distributed load

この場合の分布荷重は次のように考えます。

荷重の大きさ

4kN/m×3m÷2=6kN

太郎くん
太郎くん

三角形の面積の公式と一緒ですね。

荷重の位置

太郎くん
太郎くん

三角形の重心の位置ってどこ?

とたん
とたん

底辺から1/3のところですよ。

つまり、三角形の分布荷重はこうなります。

Distributed load
とたん
とたん

このように、分布荷重は集中荷重に置き換えて考えることができます。

分布荷重の解き方:例題

とたん
とたん

固定端の先端に三角形の分布荷重が働いているはりの断面力を求めてみましょう。

分布荷重のかかるはりの断面力

上の図のC点の断面力を求めてみます。

まずは、支点反力を求めましょう。

詳しくはこちら

とたん
とたん

固定端は曲げモーメント・軸力・せん断力に抵抗します。

Distributed load
太郎くん
太郎くん

軸力は働いていないですね。

とたん
とたん

正解です!
せん断力と曲げモーメントを求めましょう!

せん断力

QA=6kN

MA+6kN×5m=0

MA=-30kN/m

とたん
とたん

支点反力が求められました。

C点で仮想的に切断して、断面力を求めます。

断面力の求め方はこちら

C点の断面力は次のようになります。

C点のせん断力

QC=6kN

C点の曲げモーメント

MC=6kN×3m-30kN/m


MC=-12kN/m

太郎くん
太郎くん

分布荷重になっても集中荷重の時とやり方は一緒ですね。

分布荷重のかかるはりの断面力図の書き方

断面力図の書き方はこちら

とたん
とたん

分布荷重のときは少し注意が必要です。
次の2つに分けて考えましょう。

  1. 支点Aから点Cまで
  2. 支点Aから点Bまで

支点Aから点Cまで

Distributed load

軸力

軸力(水平方向の力)は働いていないので0です。

せん断力

Q=6kN

曲げモーメント

M=6kN×Xm-30kN/m


つまり、

M=6XkN/m-30kN/m

太郎くん
太郎くん

X=0のとき、支点Aの曲げモーメントと一緒ですね。

支点Aから点Bまで

Distributed load
とたん
とたん

Xの取り方に注意が必要です。

この図の場合は、0≦X≦3と取りましょう

つまり、点Bは(3+X)mと表せます。

太郎くん
太郎くん

分布荷重はどうなってるの?

とたん
とたん

分布荷重は底辺がXの三角形と考えてくださいね。

分布荷重は次のように求めます。

三角形分布の傾きは3mで4kN/mなので、Xを使うと次のように表現できます。

4kN/m÷3m×Xm
太郎くん
太郎くん

中学校で習う一次関数の傾きの計算方法と一緒ですね。

これを高さに見立てて、底辺Xの三角形の面積は、次のようになります。

Xm×4kN/m÷3m×Xm÷2

つまり、三角形分布の荷重の大きさは、次のようになります。

2X2/3

先ほど求めたC点の断面力断面力図の求め方を組み合わせて考えましょう。

軸力

水平方向の力は働いていないので0です。

せん断力

せん断力はXの値に従って変化します。

上向の力を左辺・下向きの力を右辺にすると

QA=2X2/3+Q

つまり、次の式になります。

Q=QA-2X2/3
Q=6-2X2/3
とたん
とたん

X=3とするとはりの端っこでちゃんと0になりますね。

曲げモーメント

曲げモーメントもXの値にに従って変化します。

Xの位置を中心に、右回りの力を左辺・左回りの力を右辺にすると

M+(2X2/3)×X/3+MA=+QA×(X+3)
とたん
とたん

QA(支点反力)は(X+3)mの位置にあることに注意です!

つまり、曲げモーメントはこうなります。

M=-2X3/9-12+6X

ここまで求められたら、図を書いてみましょう。

Distributed load
太郎くん
太郎くん

できました!

とたん
とたん

分布荷重になってもやることは一緒です!

  1. 支点反力を求める
  2. 力のある点で区切る
  3. 区切った範囲の断面力を求める

分布荷重の解き方のまとめ

とたん
とたん

分布荷重の解き方をまとめます!

  1. 分布荷重はまず面積を求める
  2. 面積の大きさが力の大きさ
  3. 荷重のかかる位置は重心の位置
太郎くん
太郎くん

これさえ覚えておけば、集中荷重と一緒ですね!

とたん
とたん

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おすすめポイント

・問題を解くのに必要な解説だけが書いてある
・問題の解説が省略されていない
・構造力学だけじゃなく水理学・地盤工学も入っている

結論:コストパフォーマンス最強

三力の勉強はこれ一冊で十分です。

問題集を解いていくと、さらに分布荷重の理解が深まります。

以上、明石高専卒の土木ブロガーとたん(@act_ik)でした。