【構造力学】微分方程式でたわみを解く【構造力学が苦手な人のためのテスト対策】

【構造力学】微分方程式でたわみを解く【構造力学が苦手な人のためのテスト対策】

2020年8月12日
構造力学
太郎くん
太郎くん

構造力学にも微分方程式でてくるの?
勘弁してよ。

構造力学シリーズも難しくなってきました。

今回は、『微分方程式』を使って『たわみ』を解いてみましょう。

とたん
とたん

たわみの解き方はこれだけじゃないので・・・
こんな解き方もあるんだなーと覚えておきましょう。

今回も、基礎知識を押さえながら、テストで使えるテクニックを紹介していきます。

とたん
とたん

3分ほどで読める内容にしていますので、一緒にやってみましょう!

構造力学のたわみを微分方程式を使った求め方をわかりやすく解説

構造力学のたわみを微分方程式を使った求め方をわかりやすく解説
たわみって何?

『たわみ』とは

太郎くん
太郎くん

ところで、『たわみ』って何?

とたん
とたん

ほら、定規を曲げた時のアレです。

太郎くん
太郎くん

(・・・アレってなんだよ。)

身近なもので言うと、まっすぐな定規を曲げると”湾曲”しますよね。

それがたわみです。

あなたは、薄い板の上を歩いたことがありませんか?

真ん中に行くほど『たわみ』は大きくなっていき、同時に恐怖感を感じますよね。

この『たわみ』を微分方程式で求めていきましょう。

微分方程式で『たわみ』を解くための3つのポイント

太郎くん
太郎くん

構造力学もそうなんだけど、微分方程式も苦手なんだよね。

とたん
とたん

こんな本がありますよ。
会話調で読みやすく、レビューも高いのでおすすめです!

ライトノベル調で読みやすい数学ガールシリーズ

『たわみ』を微分方程式で解くためには3つのポイントがあります。

  • 反力を求める
  • 曲げモーメントを求める
  • 微分方程式を解く
とたん
とたん

ひとつずつ見ていきましょう!

微分方程式で解くたわみ①支点反力を求める

構造力学の基礎。まず初めに支点反力を求めましょう。

支点反力の求め方はこちら

微分方程式で解くたわみ②曲げモーメントを求める

支点反力が求められたら、次は曲げモーメントを求めましょう。

断面力図を書くときに求めますよね。

曲げモーメントの求め方はこちら

微分方程式で解くたわみ③微分方程式を解く

太郎くん
太郎くん

で、、でた、微分方程式。

とたん
とたん

詳しいことは学校の先生に任せて、テストに出るところだけ解説しますね。

ここで、たわみについて下の図を見てみましょう。

たわみの説明
たわみの説明
とたん
とたん

図で言うと、『vとθを求めましょう』と言う問題です。

『たわみ』を求める微分方程式は次の式です。

たわみの微分方程式
たわみの微分方程式

ここで、

  • V:たわみの大きさ
  • θ:たわみの角度
  • M:曲げモーメント
  • E I:曲げ剛性(どれだけ曲げにくいか)
とたん
とたん

丸暗記してもいいと思います。
覚え方は、たわみを2回微分すると、マイナス(曲げモーメント/曲げ剛性)

太郎くん
太郎くん

そのままやん。
でも、こんなのどうやって解くの?

文章だけではわからないので、一緒に問題を解いてみましょう。

微分方程式を使った『たわみ』の解き方(具体例)

今回は、次のはりのたわみを求めていきます。

微分方程式を使ったたわみの例題
微分方程式を使ったたわみの例題

支点反力と曲げモーメントを求める

上の記事で紹介している通りですが、簡単に計算していきます。

支点反力は次の式で求められます。

VA+VB=qℓ


qℓ/2=VB


VA=VB=qℓ/2

曲げモーメントは次の式で求められます。

とたん
とたん

支点Aを中心に曲げモーメントを考えてみよう。

Mx+VBℓ=qx2/2
Mx=(qℓx/2)-(qx2/2)

とたん
とたん

ここまでは過去の記事でやりましたね。

微分方程式を使って『たわみ量』『たわみ角』を求める

それでは、先ほどの微分方程式を使って『たわみ』『たわみ角』を求めてみましょう。

微分方程式を使ったたわみ角の解き方1
微分方程式の解き方1
微分方程式を使ったたわみ角の解き方2
微分方程式の解き方2
太郎くん
太郎くん

あれ?Cってなんですか?

とたん
とたん

積分定数ですね。次の条件で解くことができます。

太郎くん
太郎くん

境界条件?

微分方程式を解くためには、積分定数を求めないといけません。

積分定数を解くためには、次の条件(境界条件)を使うことができます。

ヒンジ支点・ローラ支点の場合の境界条件
ヒンジ支点・ローラ支点の場合の境界条件
固定端の場合の境界条件
固定端の場合の境界条件
とたん
とたん

今回は、ヒンジ支点・ローラ支点の場合なので、
x=0の時:たわみ=0、x=ℓの時:たわみ=0でいきましょう。

微分方程式の解放
境界条件を代入した微分方程式
とたん
とたん

上の式がxの時のたわみ量です。
支点Aの時のたわみ角を求めてみましょう。

たわみ角の求め方

以上で求められました。

【まとめ】微分方程式を使った『たわみ』『たわみ角』の求め方

まとめです。

  • 支点反力を求める
  • 曲げモーメントを求める
  • たわみの微分方程式を求める
  • 境界条件を代入する
とたん
とたん

むずかしく思える微分方程式もひとつずつ解いていけばシンプルですね。

この記事を読んだ次は、問題を解いて慣れていきましょう。

とたん
とたん

記事を読むだけでは、内容まで理解できません・・・
実際の問題にたくさん解いて慣れていきましょう。

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とたん
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テストで点数を取るためには問題をたくさん解いて計算に慣れていくことがとても大切です。

以上、とたんでした