【影響線とは】構造力学の影響線の書き方がわかる【具体的な書き方を解説】

【影響線とは】構造力学の影響線の書き方がわかる【具体的な書き方を解説】

2020年4月6日
構造力学
太郎くん
太郎くん

影響線の書き方がわかりません。構造力学の単位を落としそうです・・・
わかりやすく教えてくれませんか?

構造力学の影響線の書き方を解説します。

影響線の書き方がわからなくて、単位を落としそうなあなたも
この記事を見ながら一緒に影響線を理解しましょう

本記事の内容

  • 影響線は構造力学で大切なので書き方を解説します
  • この記事を見た後すべきことはたくさん問題を解くこと

この記事を書く僕は、明石高専の都市システム工学科(土木)出身
構造力学を高専で学んだ僕が解説します。

【影響線とは】構造力学の影響線の書き方がわかる

構造力学の影響線の書き方がわかる
構造力学の影響線の書き方がわかる

影響線の書き方は断面力図の書き方に似ている

影響線は単位荷重(大きさが1の荷重)の位置が変化する場合に、ある点の反力や断面力を関数として図示します。

はりの影響線を書く方法は、断面力の求め方と似ています。

断面力の求め方が苦手な方はこちらの記事が参考になります。

>>はりの断面力図の書き方

影響線の問題を実際に解いてみよう

Influence line

影響線の書き方①支点反力の影響線

とたん
とたん

まずは支点反力の影響線を求めてみましょう。

太郎くん
太郎くん

荷重が移動するのにどうやって求めるの?

荷重が移動するので、支点反力も変わります。つまり、支点反力も大きさが変わるということです。

単位荷重Pが支点Aにいるときの支点Aの反力は、

VA=P

一方、支点Bにいるときの支点Aの反力は

VA=0

となります。

とたん
とたん

では、点Cにいるときの支点Aの反力はどう求められるでしょう?

太郎くん
太郎くん

モーメントを利用して解けますね。

単位荷重Pが点Cにいるときの支点Aの反力は次のように求められます。

支点Bでのモーメントのつり合い式から、

VA×ℓ=P×(ℓ-a)


VA=P(ℓ-a)/ℓ

単位荷重Pの大きさは1なので、次のようになります。

VA=(ℓ-a)/ℓ


VA=1-(a/ℓ)

とたん
とたん

それでは、単位荷重PがX(任意の位置)にいるときは?

太郎くん
太郎くん

aがXに変わるんですね!

つまり、支点反力Aの影響線は次のようになります。

Influence line
とたん
とたん

同じように支点Bの影響線も求めてみましょう。
xの向きを同じにとることに注意してください!

支点Aのモーメントのつり合いから、

VB×ℓ=P×X


VB=PX/ℓ

単位荷重Pの大きさは1になるので、支点Bの影響線は次のようになります。

Influence line
太郎くん
太郎くん

支点反力の影響線が求められました!

とたん
とたん

やり方が分かれば、力のつり合いと解き方は一緒です。

影響線の書き方②せん断力の影響線

とたん
とたん

C点のせん断力の影響線も書いてみましょう!

太郎くん
太郎くん

難しそう・・・

せん断力の影響線も、支点反力と同じように求めます。

とたん
とたん

単位荷重が支点AにいるときのC点のせん断力は?

太郎くん
太郎くん

単位荷重が支点Aにいると、力のつり合いからC点のせん断力は0ですね。

とたん
とたん

では、少しずつ、単位荷重を動かしてみましょう!

influence line

力のつり合い式から、xがC点までのせん断力は次のようになります。

Q+P=RA

太郎くん
太郎くん

P=1と支点Aの反力はさっき求めましたね。

Q=RA-P


Q=1-(x/ℓ)-1


Q=-(x/ℓ)

とたん
とたん

xがC点までは求められました。
次は、C点より支点B側を求めましょう!

influence line
太郎くん
太郎くん

右側だけでつり合いを考える方が簡単ですね!

とたん
とたん

せん断力の向きの取り方に注意です。

支点A側では、せん断力を下向きに取ったので、つり合うためには、支点B側では上向きに取りましょう。

単位荷重がC点より右側にあるとき、C点のせん断力の影響線はこうなります。

Q+RB=P


Q=P-RB


支点Bの反力とP=1を代入すると次のようになります。

Q=1-(x/ℓ)
とたん
とたん

つまりC点のせん断力の影響線はこうなります。

influence line

影響線の書き方③曲げモーメントの影響線

とたん
とたん

同じようにC点のモーメントの影響線も書いてみましょう。

モーメントの影響線はせん断力と同じように、次のように考えると簡単です。

  • xが点Cまで
  • xが点Cから点Bの間

xが点Cまでにいるとき、点Cでの曲げモーメントのつり合いを部材の右側で考えます。

influence line

M=RB×(ℓ-a)


M=(x/ℓ)(ℓ-a)

とたん
とたん

同じようにxが点Cから点Bにいるときも求めましょう!

Influence line

M=RA×a


M=(1-x/ℓ)a

とたん
とたん

曲げモーメントの影響線の法則に気づきましたか?

太郎くん
太郎くん

単位荷重がいない側の部材の長さ×支点反力ですね。

とたん
とたん

そうです!グラフにしてみましょう。

influence line

構造力学の影響線の書き方がわかる【まとめ】

構造力学の影響線の書き方がわかる
構造力学の影響線の書き方がわかる

さっき解いた影響線をまとめて書いてみましょう。

influence line
  • 支点反力:x=0の時(1ーx/全体の長さ)、x=ℓの時(x/ℓ)
  • せん断力:はりの両端で大きさは1、直線は逆側にある反力
  • 曲げモーメント:逆側の反力×逆側の長さ

影響線をマスターするためには問題を解いて慣れるのが早い

土木のどの科目でも言えますが、実際に問題を解くことが近道です。

構造力学の問題集はこちらでまとめています。

>>【土木】構造力学の参考書はこれがおすすめ

ちなみにこのサイトではこの問題集をおすすめしています。

理由は3つあります。

  • 単元ごとの解説
  • 問題の質と種類
  • 解答が省略されていない

地盤工学や水理学も入ってますので、将来の公務員試験対策にも使える一冊。

とりあえず、土木の学生はこの本を買うべきです。

次はこの問題集の問題を解いて、影響線をマスターしましょう。